Теорія створення параболічного дзеркала для радіотелескопа

У процесі розробки радіотелескопа важливо зрозуміти основи параболічних форм. Ця стаття має на меті спростити пояснення теорії парабол, щоб кожен міг зрозуміти принципи їх конструкції.

Основи параболи

Для створення параболи необхідно визначити пряму, що називається директивною, та фокус. Директивна повинна бути перпендикулярною до променів, які ми спостерігаємо, тобто вона вказує на джерело сигналу.

Основне правило: відстані EC та ED мають бути однаковими. Це і є визначенням параболи.

Згідно з цим правилом, всі промені (зелені), що потрапляють у параболу, будуть спрямовані до фокусу.

Визначення параболи з центрованим приймачем

Ця антена має центрований приймач. Вона є параболою в конфігурації prime focus, що спрощує розрахунки.

Спочатку в 2D

Для прикладу виберемо фокус на відстані 4 метри від центру параболи, тобто в точці (0, 4). Директивна буде розташована на відстані -4 метри. Директивна — це пряма (в 2D або площина в 3D), яка повинна бути перпендикулярною до променів, які ми хочемо отримати.

Як вже зазначалося, нам потрібно, щоб ED = EC. Ми скористаємося формулою відстані, яка є застосуванням теореми Піфагора:

(x1–x2)² + (y1–y2)²

(x1, y1) — точка параболи, а (x2, y2) — фокус.

Відстань EC =

(x – 0)² + (y – 4)²

ED завжди перпендикулярна директивній, оскільки вона вказує на джерело, яке парабола повинна захопити. Таким чином, x в формулі для ED скасовується.

ED =

(y – (–4))²

Отже, маємо EC та ED, але нам потрібно знайти y у залежності від x за умови EC = ED:

(y – (–4))² = (x – 0)² + (y – 4)²

Спрощуючи:

(y + 4)² = x² + (y – 4)²

y² + 8y + 16 = x² + y² – 8y + 16

16y = x²

y = x²/16

Завдяки цій формулі ви зможете розмістити точки вашої параболи для фокусу на 4 метри.

Тепер у 3D

З фокусом у (0, 4, 0):

(y – (–4))² = (x – (0))² + (y – 4)² + (z – 0)²

y² + 8y + 16 = x² + y² – 8y + 16 + z²

y = (z² + x²)/16

Наприклад, для точки нашої параболи в (1,1) m = 0,125m = 12,5cm.

Точка параболи на 1м з боку та 1м висоти буде на відстані 12,5 см від блакитного плану.

Визначення параболи з нецентрованим приймачем та нахиленою директивною

Цей телескоп має приймач, зміщений від центру. Це конфігурація offset.

Розрахунки є дещо складнішими, але принцип залишається тим самим.

Спочатку в 2D

З фокусом у (10,20) визначимо рівняння директивної:

y = ax + b

a = (y1–y2)/(x1–x2) та b = y2 – ax2

З точками A(-15, -10) та B(10, -5):

a = (–10 – (–5))/(–15 – 10) a = –5/–25 a = 0,2

b = –5 – (0,2*10) b = –7

Отже, рівняння прямої:

y = 0,2x – 7

Повертаємось до рівняння параболи:

(y – (0.2x – 7) + 0.2x – 75)² + (y – (0.2(y – (0.2x – 7) + 0.2x – 75) + x) – 7)² = (x – 10)² + (y – 20)²

Я ізолюю y за допомогою Wolfram:

y = 512 (–12x – 25×2 + 2177 – 30x + 1670)

в 3D:

(y – (0.2x – 7) + 0.2x – 75)² + (y – (0.2(y – (0.2x – 7) + 0.2x – 75) + x) – 7)² + (y – (0.2(y – (0.2z – 7) + 0.2z – 75) + z) – 7)² = z² + (x – 10)² + (y – 20)²

Wolfram:

–0.96x² – 0.384xy + 17.2x + 0.8832y² – 0.384yz + 66.88y – 0.96z² – 2.8z – 402 = 0

потім

–0.96x² + 17.2x – 0.96z² – 2.8z – 402 = y(0.96x + 0.96z + 17.2) – 0.384y²

Невеликий скрипт на Python, і ми отримуємо координати для побудови нашого рефлектора.